本单元是学生第一次接触“数学广角”的单元内容,编排了最简单的排列与组合问题。考虑到排列与组合在生活中的广泛应用,如体育中足球、乒乓球等比赛中场次的设定,密码的排列数,邮政编码、电话号码、身份证号码等各种编号都要用到排列与组合。同时排列与组合的思想方法也是学生以后学习概率统计知识的基础,还是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。在教学中让学生通过操作、观察、猜想等方法,初步渗透排列与组合的思想方法,逐步培养学生有序、全面地思考问题的意识,以及探索数学问题的兴趣与欲望,同时积累数学活动经验,感受数学与现实生活的关系。

例1　要探索用非0的3个数字组成没有重复数字的两位数的个数。这是一个排列问题(与数字的排列顺序有关)。教材分两个层次编排:第一个层次是找出所有满足条件的两位数,第二个层次是数出满足条件的两位数的个数。其中第一个层次是关键,教材以两幅连续的图加以呈现。

第一幅图呈现了两名学生独立思考、动手寻找的情景:摆数字卡片无序寻找;借助数位表,按照规律交换两个数字的位置寻找。第二幅图呈现了学生进行组内交流的情况,体现了学生对于自己解决问题过程的反思,渗透了有序思考问题的方法。小精灵的话体现了全班交流的焦点问题,并再次引导学生梳理思考过程,进一步感受有序思考的好处。

例2　紧密结合学生已有知识,让学生从3个数中任取2个求和,确定得数的种类数。两个数相加之和与数的位置无关,是组合问题。其编排层次与例1相同。第一层次是找出所有满足条件的和,第二层次是数出满足条件的和的个数。

第一幅图呈现了两名学生独立思考、动手探索的情景:男生用列表的方法有序思考,女生用两两连线的方法有序思考。这两种解决问题的方式,虽然表达方式不同,但思维过程是相同的。从第二幅图的角度来说,这两种表达方式都有助于学生理解组合问题,利于揭示组合的内涵:与顺序无关。

“数学广角”是人教版教材独有的内容。其意图在于系统而有步骤地把一些重要的数学思想方法,通过学生可以理解的、日常生活中常见的、最简单的事例呈现出来,借助一些操作等直观手段向学生进行渗透。教学时先让学生独立思考,然后用自己喜欢的方式表达出来,如:写一写、画一画、列举,然后小组交流,明确排列、组合的相同点和不同点,并逐步学会这种思考方式,总结这方面的经验,培养学生的观察、分析以及推理能力,形成有序、全面思考问题的意识。

如教学例1,让学生利用3个非0的数字自主排列成两位数,通过对比从而感受有序排列的重要性。有序思考除了教材上呈现的调换位置法,还有固定十位法、固定个位法等。